Пусть S_n — окружность, построенная наn-м шаге,O_n — ее центр. Рассмотрим величинуF_n=$\sum$(R²-O_nA_i²), где суммирование ведется только по точкам, оказавшимся внутри окружности S_n. Будем обозначать точки, лежащие внутри окружностей S_nи S_{n + 1}, буквами Bс индексом; точки, лежащие внутри окружности S_n, но вне окружности S_{n + 1}, буквами C, а точки, лежащие внутри окружности S_{n + 1}, но вне окружности S_n, буквами D. ТогдаF_n=$\sum$(R²-O_nB_i²) +$\sum$(R²-O_nC_i²) и F_{n + 1}=$\sum$(R²-O_{n + 1}B_i²) +$\sum$(R²-O_{n + 1}D_i²). Так как точка O_{n + 1}является центром масс системы точек Bи C, то$\sum$O_nB_i²+$\sum$O_nC_i²=qO_nO_{n + 1}²+$\sum$O_{n + 1}B_i²+$\sum$O_{n + 1}C_i², где q — общее количество точек Bи C. Следовательно,F_{n + 1}-F_n=qO_nO_{n + 1}²+$\sum$(R²-O_{n + 1}D_i²) -$\sum$(R²-O_{n + 1}C_i²). Все три слагаемых неотрицательны, поэтомуF_{n + 1}$\ge$F_n. В частности,F_n$\ge$F₁> 0, т. е.q> 0. Центров масс различных наборов данных точек конечное число, поэтому различных положений окружностей S_iконечное число. Следовательно,F_{n + 1}=F_nдля некоторого n, а значит,qO_nO_{n + 1}²= 0, т. е.O_n=O_{n + 1}.

Ответ задачи отсутствует