Предположим, что выпуклый многоугольник Mразрезан на невыпуклые четырехугольникиM₁,...,M_n. Каждому многоугольнику Nпоставим в соответствие числоf(N), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших180^o, и суммой углов, дополняющих до360^oего углы, большие180^o. Сравним числаA=f(M) и B=f(M₁) +...+f(M_n). Рассмотрим для этого все точки, являющиеся вершинами четырехугольниковM₁,...,M_n. Их можно разбить на четыре типа.

1. Вершины многоугольника M. Эти точки дают одинаковые вклады в Aи B.
2. Точки на сторонах многоугольника Mили M_i. Вклад каждой такой точки в Bна180^oбольше, чем в A.
3. Внутренние точки многоугольника, в которых сходятся углы четырехугольника, меньшие180^o. Вклад каждой такой точки в Bна360^oбольше, чем в A.
4. Внутренние точки многоугольника M, в которых сходятся углы четырехугольников, причем один из них больше180^o. Такие точки дают нулевые вклады в Aи B. В итоге получаемA$\le$B. С другой стороны,A> 0, а B= 0. НеравенствоA> 0 очевидно, а для доказательства равенстваB= 0 достаточно проверить, что если N — невыпуклый четырехугольник, тоf(N) = 0. Пусть углы Nравны$\alpha$$\ge$$\beta$$\ge$$\gamma$$\ge$$\delta$. У любого невыпуклого четырехугольника ровно один угол больше180^o, поэтомуf(N) =$\beta$+$\gamma$+$\delta$- (360^o-$\alpha$) =$\alpha$+$\beta$+$\gamma$+$\delta$- 360^o= 0^o. Получено противоречие, поэтому выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

Ответ задачи отсутствует