Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 9 класса - сложность 3 с решениями
глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
НазадДокажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим180<sup><tt>o</tt></sup>внутренним углам, не меньше360<sup><tt>o</tt></sup>.
Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки <i>O</i>виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.
Пусть<i>A</i>и<i>B</i>— фиксированные точки,$\lambda$и$\mu$— фиксированные числа. Выберем произвольную точку<i>X</i>и зададим точку<i>P</i>равенством$\overrightarrow{XP}$=$\lambda$$\overrightarrow{XA}$+$\mu$$\overrightarrow{XB}$. Докажите, что положение точки<i>P</i>не зависит от выбора точки<i>X</i>тогда и только тогда, когда$\lambda$+$\mu$= 1. Докажите также, что в этом случае точка<i>P</i>лежит на прямой<i>AB</i>.
Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры$\Phi$делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.
Выпуклый многоугольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>лежит внутри окружности<i>S</i><sub>1</sub>, а выпуклый многоугольник<i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>m</sub>— внутри<i>S</i><sub>2</sub>. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек<i>A</i><sub>1</sub>, ...,<i>A</i><sub>n</sub>лежит внутри<i>S</i><sub>2</sub>или одна из точек<i>B</i><sub>1</sub>, ...,<i>B</i><sub>m</sub>лежит внутри<i>S</i><sub>1</sub>.
Назовем выпуклый семиугольник<i>особым</i>, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.
Среди всех таких чисел <i>n</i>, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части)<i>n</i>треугольников, найдите наименьшее.
На плоскости дано несколько правильных<i>n</i>-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее <i>n</i>углов.
Внутри квадрата<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>лежит выпуклый четырёхугольник<i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>8</sub>. Внутри<i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>8</sub>выбрана точка<i>A</i><sub>9</sub>. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугол...