Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Сумма Минковского» для 9 класса

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.

а) Пусть<i>M</i>— выпуклый многоугольник, площадь которого равна<i>S</i>, а периметр равен<i>P</i>;<i>D</i>— круг радиуса<i>R</i>. Докажите, что площадь фигуры$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>+$\lambda_{2}^{}$<i>D</i>равна<div align="CENTER"> $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$<i>S</i> + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$<i>PR</i> + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$$\displaystyle \pi$<i>R</i>². </div> б) Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>P</i>²/4$\pi$.

Докажите, что<i>S</i>₁₂$\ge$$\sqrt{S_1S_2}$, т.е.$\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$$\ge$$\lambda_{1}^{}$$\sqrt{S_1}$+$\lambda_{2}^{}$$\sqrt{S_2}$(Брунн).

Пусть<i>S</i>₁и<i>S</i>₂— площади многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. Докажите, что площадь<i>S</i>($\lambda_{1}^{}$,$\lambda_{2}^{}$) многоугольника$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>₂равна<div align="CENTER"> $\displaystyle \lambda_{1}^{2}$<i>S</i>₁ + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$<i>S</i>₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$<i>S</i>₂, </div>где<i>S</i>₁₂зависит толь...

а) Докажите, что если<i>M</i>₁и<i>M</i>₂— выпуклые многоугольники, то$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>₂— выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. б) Пусть<i>P</i>₁и<i>P</i>₂— периметры многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. Докажите, что периметр многоугольника$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>&lt...

Пусть<i>A</i>и<i>B</i>— фиксированные точки,$\lambda$и$\mu$— фиксированные числа. Выберем произвольную точку<i>X</i>и зададим точку<i>P</i>равенством$\overrightarrow{XP}$=$\lambda$$\overrightarrow{XA}$+$\mu$$\overrightarrow{XB}$. Докажите, что положение точки<i>P</i>не зависит от выбора точки<i>X</i>тогда и только тогда, когда$\lambda$+$\mu$= 1. Докажите также, что в этом случае точка<i>P</i>лежит на прямой<i>AB</i>.