Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями» - сложность 2-5 с решениями

а)<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Через вершины <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный. б) Четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный и описанный одновременно; <i>A</i>и <i>B</i> — точки касания вписанной окружности со сторонами <i>KL</i>и <i>LM</i>. Докажите, что <i>AK</i>^.<i>BM</i>=<i>r</i>², где <i>r</i> — радиус вписанной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что середины сторон четырехугольника <i>ABCD</i>и проекции точки <i>P</i>на стороны лежат на одной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что прямая, проведенная из точки <i>P</i>перпендикулярно <i>BC</i>, делит сторону <i>AD</i>пополам.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что расстояние от точки <i>O</i>до стороны <i>AB</i>равно половине длины стороны <i>CD</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>равна (<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>)/2.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Из вершин <i>A</i>и <i>B</i>опущены перпендикуляры на <i>CD</i>, пересекающие прямые <i>BD</i>и <i>AC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>соответственно. Докажите, что <i>AKLB</i> — ромб.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка <i>OP</i>и радиус окружности <i>R</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности <i>R</i>. а) Найдите <i>AP</i>²+<i>BP</i>²+<i>CP</i>²+<i>DP</i>². б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника <i>ABCD</i>.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Докажите, что ломаная <i>AOC</i>делит <i>ABCD</i>на две фигуры равной площади.