Олимпиадные задачи из источника «глава 18. Поворот» - сложность 5 с решениями
По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.
Докажите, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.
На векторах$\overrightarrow{A_iB_i}$, где<i>i</i>= 1,...,<i>k</i>, построены правильные одинаково ориентированные<i>n</i>-угольники<i>A</i><sub>i</sub><i>B</i><sub>i</sub><i>C</i><sub>i</sub><i>D</i><sub>i</sub>... (<i>n</i>$\ge$4). Докажите, что<i>k</i>-угольники<i>C</i><sub>1</sub>...<i>C</i><sub>k</sub>и <i>D</i><sub>1</sub>...<i>D</i><sub>k</sub>правильные одинаково ориентированные тогда и только тогда, когда<i>k</i>-угольники<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>k</sub>и <i>...
Дан треугольник<i>ABC</i>. Постройте прямую, делящую пополам его площадь и периметр.
На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника<i>ABCDEF</i>внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
Шестиугольник<i>ABCDEF</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, причем<i>AB</i>=<i>CD</i>=<i>EF</i>=<i>R</i>. Докажите, что середины сторон<i>BC</i>,<i>DE</i>и <i>FA</i>образуют правильный треугольник.
Даны точка<i>X</i>и правильный треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что из отрезков<i>XA</i>,<i>XB</i>и<i>XC</i>можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка<i>X</i>лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>(Помпею).