Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Псевдоскалярное произведение» для 6-11 класса - сложность 2-4 с решениями
параграф 7. Псевдоскалярное произведение
НазадДан треугольник<i>ABC</i>и точка <i>P</i>. Точка <i>Q</i>такова, что<i>CQ</i>||<i>AP</i>, а точка <i>R</i>такова, что<i>AR</i>||<i>BQ</i>и <i>CR</i>||<i>BP</i>. Докажите, что<i>S</i><sub>ABC</sub>=<i>S</i><sub>PQR</sub>.
Точки <i>P</i><sub>1</sub>,<i>P</i><sub>2</sub>и <i>P</i><sub>3</sub>, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2n</sub>. Докажите, что если сумма площадей треугольников<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>P</i><sub>i</sub>,<i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>P</i><sub>i</sub>,...,<i>A</i><sub>2n - 1</sub><i>A</i><sub>2n</sub><i>P</i><sub>i</sub>равна одному и тому...
Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.
По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?
а) Докажите, что<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) = -<i>S</i>(<i>B</i>,<i>A</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>B</i>,<i>C</i>,<i>A</i>). б) Докажите, что для любых точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>справедливо равенство<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>C</i>,<i>A</i>).
Пусть<b>a</b>= (<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>) и <b>b</b>= (<i>b</i><sub>1</sub>,<i>b</i><sub>2</sub>). Докажите, что<b>a</b>$\vee$<b>b</b>=<i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>2</sub>-<i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>1</sub>.
Докажите, что: а)($\lambda$<b>a</b>)$\vee$<b>b</b>=$\lambda$(<b>a</b>$\vee$<b>b</b>); б)<b>a</b>$\vee$(<b>b</b>+<b>c</b>) =<b>a</b>$\vee$<b>b</b>+<b>a</b>$\vee$<b>c</b>.