Задача
Окружности радиусовta,tb,tcкасаются внутренним образом описанной окружности треугольникаABCв его вершинахA,B,Cи касаются друг друга внешним образом. Докажите, что
ta = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$, tb = $\displaystyle {\frac{Rh_b}{b+h_b}}$, tc = $\displaystyle {\frac{Rh_c}{c+h_c}}$.
Решение
ПустьO— центр описанной окружности. Применив теорему косинусов к треугольникуAOB, получимcos 2$\gamma$= 1 -${\frac{c^2}{2R^2}}$. Если окружности радиусовtaиtbкасаются внутренним образом описанной окружности в вершинахAиBи касаются друг друга внешним образом, то по теореме косинусов
(R - ta)2 + (R - tb)2 - 2(R - ta)(R - tb)$\displaystyle \left(\vphantom{1-\frac{c^2}{2R^2}}\right.$1 - $\displaystyle {\frac{c^2}{2R^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\frac{c^2}{2R^2}}\right)$ = (ta + tb)2,
поэтому| $\displaystyle {\frac{c^2}{2R^2}}$ | = 1 - $\displaystyle {\frac{(R-t_a)^2+(R-t_b)^2-(t_a+t_b)^2}{2(R-t_a)(R-t_b)}}$ = | |
| = $\displaystyle {\frac{(t_a+t_b)^2-(t_a-t_b)^2}{2(R-t_a)(R-t_b)}}$ = $\displaystyle {\frac{4t_at_b}{2(R-t_a)(R-t_b)}}$, |
т.е.c2=${\frac{4t_at_bR^2}{(R-t_a)(R-t_b)}}$. Аналогичноa2=${\frac{4t_bt_cR^2}{(R-t_b)(R-t_c)}}$иb2=${\frac{4t_at_cR^2}{(R-t_a)(R-t_c)}}$. Следовательно,${\frac{b^2c^2}{a^2}}$=${\frac{4t_a^2R^2}{(R-t_a)^2}}$. Поэтому${\frac{ta}{R-t_a}}$=${\frac{bc}{2Ra}}$, а значит,
| ta | = $\displaystyle {\frac{Rbc}{2Ra+bc}}$ = $\displaystyle {\frac{Rabc}{2Ra^2+abc}}$ = $\displaystyle {\frac{4R^2S}{2Ra^2+4RS}}$ = | |
| = $\displaystyle {\frac{2RS}{a^2+2S}}$ = $\displaystyle {\frac{Rah_a}{a^2+ah_a}}$ = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$. |
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет