Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема косинусов» - сложность 2 с решениями

Докажите, что медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²= 5<i>c</i>².

Длины сторон параллелограмма равны <i>a</i>и <i>b</i>, длины диагоналей — <i>m</i>и <i>n</i>. Докажите, что <i>a</i>⁴+<i>b</i>⁴=<i>m</i>²<i>n</i>²тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен 45^<tt>o</tt>.

Докажите, что: а) <i>m</i>_a²= (2<i>b</i>²+ 2<i>c</i>²-<i>a</i>²)/4; б) <i>m</i>_a²+<i>m</i>_b²+<i>m</i>_c²= 3(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4.