Задачи и олимпиады по математике

Задача

Пусть O — центр описанной окружности (неправильного) треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая OMперпендикулярна медиане CC₁тогда и только тогда, когда a²+b²= 2c².

Решение

Пустьm=C₁Mи$\varphi$=$\angle$C₁MO. ТогдаOC₁²=C₁M²+OM²- 2OM^.C₁Mcos$\varphi$иBO²=CO²=OM²+MC²+ 2OM^.CMcos$\varphi$=OM²+ 4C₁M²+ 4OM^.C₁Mcos$\varphi$. ПоэтомуBC₁²=BO²-OC₁²= 3C₁M²+ 6OM^.C₁Mcos$\varphi$, т. е.c²= 4BC₁²= 12m²+ 24OM^.C₁Mcos$\varphi$. Ясно также, что18m²= 2m_c²=a²+b²-c²/2 (см. задачу 12.21). Поэтому равенствоa²+b²= 2c²эквивалентно тому, что18m²= 3c²/2, т. е.c²= 12m². Так какc²= 12m²+ 24OM^.C₁Mcos$\varphi$, равенствоa²+b²= 2c²эквивалентно тому, что$\angle$C₁MO=$\varphi$= 90^o, т. е.CC₁$\perp$OM.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления