Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Разные задачи» для 9-11 класса - сложность 1-4 с решениями

Какое наибольшее число точек можно поместить на отрезке длиной 1 так, чтобы на любом отрезке длиной <i>d</i>, содержащемся в этом отрезке, лежало не больше 1 + 1000<i>d</i>²точек?

Чему равно наибольшее число клеток шахматной доски размером 8×8, которые можно разрезать одной прямой?

В городе 10 улиц, параллельных друг другу, и 10 улиц, пересекающих их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый автобусный маршрут, проходящий через все перекрестки?

Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $\alpha$. Найдите наибольшее значение $\alpha$.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>O</i>не лежат на одной прямой. Проведите через точку <i>O</i>прямую <i>l</i>так, чтобы сумма расстояний от нее до точек <i>A</i>и <i>B</i>была: а) наибольшей; б) наименьшей.

Даны прямая <i>l</i>и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, лежащие по одну сторону от нее. На прямой <i>l</i>берем точку <i>M</i>и в треугольнике<i>PQM</i>проводим высоты<i>PP'</i>и<i>QQ'</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>P'Q'</i>минимальна?

На плоскости даны прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по разные стороны от нее. Постройте окружность, проходящую через точки <i>A</i>и <i>B</i>так, чтобы прямая <i>l</i>высекала на ней хорду наименьшей длины.

Внутри окружности с центром <i>O</i>дана точка <i>A</i>. Найдите точку <i>M</i>окружности, для которой угол<i>OMA</i>максимален.