Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Треугольник» для 9-10 класса - сложность 2-3 с решениями

Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.

Докажите, что если α, β, γ и α₁, β₁, γ₁ – углы двух треугольников, то   ^{cos α₁}/_{sin α} + ^{cos β₁}/_{sin β} + ^{cos γ₁}/_{sin γ} ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.

Докажите, что треугольники с длинами сторон <i>a, b, c</i> и <i>a</i>₁, <i>b</i>₁, <i>c</i>₁ подобны тогда и только тогда, когда   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57530/problem_57530_img_2.gif">

Периметр треугольника<i>ABC</i>равен 2<i>p</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что<i>MN</i>|<i>BC</i>и<i>MN</i>касается вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Найдите наибольшее значение длины отрезка<i>MN</i>.

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной <i>a</i> и углом α.

Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон <i>b</i> и <i>c</i>?

Докажите, что среди всех треугольников<i>ABC</i>с фиксированным углом $\alpha$и полупериметром <i>p</i>наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.

Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом $\alpha$и площадью <i>S</i>наименьшую длину стороны<i>BC</i>имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.