Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Симметричные неравенства для углов треугольника» для 6-10 класса

<div align="CENTER"> sin 2$\displaystyle \alpha$ + sin 2$\displaystyle \beta$ + sin 2$\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \leq$ sin($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) + sin($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$) + sin($\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \alpha$). </div>

а) cos$\alpha$cos$\beta$+ cos$\beta$cos$\gamma$+ cos$\gamma$cos$\alpha$$\leq$3/4.

а) cos²$\alpha$+ cos²$\beta$+ cos²$\gamma$$\geq$3/4. б) Для тупоугольного треугольника<div align="CENTER"> cos²$\displaystyle \alpha$ + cos²$\displaystyle \beta$ + cos²$\displaystyle \gamma$ > 1. </div>

а) sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$$\leq$3$\sqrt{3}$/8; б) cos($\alpha$/2)cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2)$\leq$3$\sqrt{3}$/8.

а) sin($\alpha$/2)sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)$\leq$1/8; б) cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$$\leq$1/8.

а) <i>ctg</i>($\alpha$/2) +<i>ctg</i>($\beta$/2) +<i>ctg</i>($\gamma$/2)$\geq$3$\sqrt{3}$. б) Для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> <i>tg</i>$\displaystyle \alpha$ + <i>tg</i>$\displaystyle \beta$ + <i>tg</i>$\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \geq$ 3$\displaystyle \sqrt{3}$. </div>

а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$$\geq$$\sqrt{3}$; б) <i>tg</i>($\alpha$/2) +<i>tg</i>($\beta$/2) +<i>tg</i>($\gamma$/2)$\geq$$\sqrt{3}$.

а) sin$\alpha$+ sin$\beta$+ sin$\gamma$$\leq$3$\sqrt{3}$/2; б) cos($\alpha$/2) + cos($\beta$/2) + cos($\gamma$/2)$\leq$3$\sqrt{3}$/2.

а) 1 < cos$\alpha$+ cos$\beta$+ cos$\gamma$$\leq$3/2; б) 1 < sin($\alpha$/2) + sin($\beta$/2) + sin($\gamma$/2)$\leq$3/2.