Олимпиадные задачи из источника «Задачи для самостоятельного решения» - сложность 1-2 с решениями

Точка <i>P</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>, причём   ∠<i>ABP</i> = ∠<i>ACP</i>.  На прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> взяты такие точки <i>C</i>₁ и <i>B</i>₁, что  <i>BC</i>₁ : <i>CB</i>₁ = <i>CP</i> : <i>BP</i>.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых <i>BP</i> и <i>CP</i>, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, параллельна <i>BC</i>.

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной <i>x</i>. Найдите <i>x</i>, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остается равносторонний шестиугольник.

Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны <i>a, b</i> и <i>c</i>.

На диагонали <i>AC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>AP = CQ</i>.  Точка <i>M</i> такова, что  <i>PM || AD</i>  и  <i>QM || AB</i>.

Докажите, что точка <i>M</i> лежит на диагонали <i>BD</i>.

На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>MN || AC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABM = S_CBN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и средняя линия <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Прямые <i>AD</i> и <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  2<i>A</i>₁<i>K = |b – c</i>|.

На прямой <i>l</i> даны точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i>. Через точки <i>A</i> и <i>B</i>, а также через точки <i>C</i> и <i>D</i> проводятся параллельные прямые.

Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую <i>l</i> в двух фиксированных точках.

Докажите, что если  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>ABC</i>,  то   <i>BC</i>² = (<i>AC + AB</i>)·<i>AC</i>.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ симметричны центру описанной окружности треугольника <i>ABC</i> относительно его сторон.

Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ равны.

Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения.

Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма?