Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Треугольник, образованный основаниями высот» - сложность 3 с решениями

а) Докажите, что высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> делят углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ пополам.

б) На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно.

Докажите, что если  ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i> =...

На сторонах остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ так, что отрезки <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в точке <i>H</i>.

Докажите, что  <i>AH·A</i>₁<i>H = BH·B</i>₁<i>H = CH·C</i>₁<i>H</i>  тогда и только тогда, когда <i>H</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.