Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Докажите, что при любом простом  <i>p</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif">   делится на <i>p</i>.

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что  <i>nⁿ</i> > (<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1.

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  ½ (3^<i>k</i> – 1)  можно выбрать 2^<i>k</i> чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  <i>k</i> = 3;   б)  <i>k</i> = 4;   в)  <i>k</i> = 6.

Решите уравнение  <i>x</i>² – 5<i>y</i>² = 1  в целых числах.