Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 6-9 класса - сложность 2 с решениями
глава 10. Делимость-2
НазадДоказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Найти остаток от деления на 7 числа 10<sup>10</sup> + 10<sup>10<sup>2</sup></sup> + 10<sup>10<sup>3</sup></sup> + ... + 10<sup>10<sup>10</sup></sup>.
Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо <i>n</i><sup>8</sup> + 1, либо <i>n</i><sup>8</sup> – 1 делится на 17.
Пусть <i>p</i> – простое число, и <i>a</i> не делится на <i>p</i>. Докажите, что найдется натуральное число <i>b</i>, для которого <i>ab</i> ≡ 1 (mod <i>p</i>).
Сумма трёх чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> делится на 30. Докажите, что <i>a</i><sup>5</sup> + <i>b</i><sup>5</sup> + <i>c</i><sup>5</sup> также делится на 30.
Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что (<i>a + b</i>)<sup><i>p</i></sup> ≡ <i>a<sup>p</sup> + b<sup>p</sup></i> (mod <i>p</i>) для любых целых <i>a</i> и <i>b</i>.
Докажите, что число 30<sup>239</sup> + 239<sup>30</sup> составное.
Докажите, что 7<sup>120</sup> – 1 делится на 143.
Найдите остаток от деления 8<sup>900</sup> на 29.
Докажите, что 300<sup>3000</sup> – 1 делится на 1001.
Найдите остаток от деления 2<sup>100</sup> на 101.
Пусть <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>kn</i>). Тогда <i>a ≡ b</i> (mod <i>n</i>).
Пусть <i>ka ≡ kb</i> (mod <i>m</i>), <i>k</i> и <i>m</i> взаимно просты. Тогда <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).
Решите уравнение в целых числах: <i>x</i>³ + 3 = 4<i>y</i>(<i>y</i> + 1).
Докажите, что уравнение <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> – <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда <i>n</i> – простое число.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² – <i>y</i>² = 1988.
Решить в целых числах уравнение <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i></sub> = 1.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 8<i>t</i> – 1.
Решить в целых числах уравнение 15<i>x</i>² – 7<i>y</i>² = 9.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>³ + 21<i>y</i>² + 5 = 0.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² – 7<i>y</i> = 10.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² = 4<i>z</i> – 1.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>x + y</i> + 2.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>² = 14 + <i>y</i>².