Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Комплексная плоскость» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) при всех действительных <i>x</i> принимает только положительные значения.

Докажите, что найдутся такие многочлены <i>a</i>(<i>x</i>) и <i>b</i>(<i>x</i>), для которых  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>²(<i>x</i>) + <i>b</i>²(<i>x</i>).

а) Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство:   <img width="31" height="76" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_2.gif"><img width="29" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_3.gif"> = <img width="25" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_4.gif"> – <img width="26" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_5.gif">θ   (0 < θ < 1).

б) Докаж...

Докажите, что при нечётном  <i>n</i> > 1  справедливо равенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61145/problem_61145_img_2.gif">

Докажите, что все корни уравнения  <i>a</i>(<i>z – b</i>)^<i>n</i> = <i>c</i>(<i>z – d</i> )^<i>n</i>, где <i>a, b, c, d</i> – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

Найдите все корни уравнения  (<i>z</i> – 1)^<i>n</i> = (<i>z</i> + 1)^<i>n</i>.

Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Найдите остаток от деления многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^6<i>n</i> + <i>x</i>^5<i>n</i> + <i>x</i>^4<i>n</i> + <i>x</i>^3<i>n</i> + <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  на  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁶ + <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1,  если известно, что &...

Пусть <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>x</i> – 1.  Докажите, что <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>xⁿ</i> – 1.

При каких <i>n</i> многочлен  (<i>x</i> + 1)^<i>n</i> – <i>xⁿ</i> – 1  делится на:

  а)  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1;   б)  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)²;   в) (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)³?

При каких <i>n</i> многочлен  (<i>x</i> + 1)^<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  делится на:

  а)  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1;    б)  (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)²;    в)   (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)³?

Докажите, что при любых целых <i>a</i> и натуральном <i>n</i> выражение  (<i>a</i> + 1)^2<i>n</i>+1 + <i>a</i>^<i>n</i>+2  делится на  <i>a</i>² + <i>a</i> + 1.

При каких <i>n</i>

  а) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1?

  б) многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i> – <i>xⁿ</i> + 1  делится на  <i>x</i>² – <i>x</i> + 1?

Пусть <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>n</i> с корнями α₁, ..., α_<i>n</i>. Определим многоугольник <i>M</i> как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_<i>n</i> на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника <i>M</i>.

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) = (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями <i>a, b, c</i>.

Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках <i>a, b, c</i>.

Докажите, что корни уравнения  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61134/problem_61134_img_2.gif">  где <i>a, b, c</i> – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках <i>a, b, c</i>, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

Пусть <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, ..., <i>z_n</i> – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  <i>z</i> = λ₁<i>z</i>₁ + λ₂<i>z</i>₂ + ... + λ<i>_nz_n</i>,  где λ₁, λ₂, ..., λ_<i>n</i> – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_<i>n</i> = 1.

Пусть <i>z</i>₁, ..., <i>z_n</i> – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg <i>z</i> < α + π.  Докажите, что

  а)  <i>z</i>₁ + ... + <i>z_n</i> ≠ 0;

  б)  ¹/_<i>z</i>₁ + ... + ¹/_{<i>z_n</i>} ≠ 0.

Найдите предел   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61131/problem_61131_img_2.gif">

Вычислите суммы:   а)  1 + <i>a</i> cos φ + ... + <i>a</i>^<i>k</i> cos <i>k</i>φ + ... ( |<i>a</i>| < 1);   б)  <i>a</i> sin φ + ... + <i>a</i>^<i>k</i> sin <i>k</i>φ + ... ( |<i>a</i>| < 1);   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61130/problem_61130_img_2.gif">   г)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61130/problem_61130_img_3.gif">

Докажите равенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61129/problem_61129_img_2.gif">

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_2.gif"> б) Вычислите суммы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_3.gif">

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_2.gif"> б) Вычислите сумму   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_3.gif">

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

Вычислите суммы:

а)  cos²<i>x</i> + cos²2<i>x</i> + ... + cos²2<i>nx</i>;

б)  sin²<i>x</i> + sin²2<i>x</i> + ... + sin²2<i>nx</i>.

Докажите равенство:  <img width="250" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61124/problem_61124_img_2.gif"> = tg <i>n</i>α.

а) Докажите равенство:   cos φ + ... + cos <i>n</i>φ = <img width="115" height="58" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61123/problem_61123_img_2.gif">;

б) Вычислите сумму:   sinφ + ... + sin <i>n</i>φ.