Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Рациональные и иррациональные числа» для 11 класса - сложность 3 с решениями
параграф 1. Рациональные и иррациональные числа
НазадНайти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
Дано <i>N</i> точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из <i>k</i> цветов. Докажите, что если <i>N</i> > [<i>k</i>!<i>e</i>], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.
Число <i>e</i> определяется равенством <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_2.gif"> Докажите, что а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_3.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_4.gif"> где 0 < <i>r<sub>n</sub></i> ≤ 1/<sub><i>n</i>!<i>n</i></sub>;в) <i>e</i> – иррациональное число.
Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?
Может ли
а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?
б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?
в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Докажите, что среди чисел [2<sup><i>k</i></sup><img width="25" eight="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60850/problem_60850_img_2.gif">] (<i>k</i> = 0, 1, ...) бесконечно много составных.
Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60847/problem_60847_img_2.gif">. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру.