Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Рациональные и иррациональные числа» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Дано <i>N</i> точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из <i>k</i> цветов. Докажите, что если  <i>N</i> > [<i>k</i>!<i>e</i>],  то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

Число <i>e</i> определяется равенством  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_2.gif">  Докажите, что а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_3.gif"> б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60873/problem_60873_img_4.gif">  где  0 < <i>r_n</i> ≤ 1/_{<i>n</i>!<i>n</i>};в)  <i>e</i> – иррациональное число.

Докажите следующие равенства:

  а) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_2.gif"> = <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_3.gif"> + <img width="86" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_4.gif">;

  б) <img width="196" height="90" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60872/problem_60872_img_5.gif"> = 2 cos<img width="41" height="43" align=&qu...

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

<table> <tr><td align="LEFT">а) <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_2.gif">;    </td> <td align="LEFT"> д) <img width="118" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_3.gif">;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <img width="109" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60870/problem_60870_img_4.gif">;    </td> <td align="LEFT"> е) &lt...

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

Вычислите: а)$\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}$+$\sqrt[3]{20-\sqrt{392}}$; б)$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$-$\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$; в)$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}$+$\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}$    (9$\leqslant$<i>x</i>$\leqslant$18).

Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}$ + $\displaystyle \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}$ = 3. </div>

Может ли

а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?

б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?

в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?

Докажите, что уравнения

  а)  8<i>x</i>⁴ + 4<i>y</i>⁴ + 2<i>z</i>⁴ = <i>t</i>⁴;

  б)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>;

  в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>u</i>² = 2<i>xyzu</i>;

  г)  3^<i>n</i> = <i>x</i>² + <i>y</i>²

не имеют решений в натуральных числах.

Докажите иррациональность следующих чисел:а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_2.gif"> ; б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_3.gif"> ; в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_4.gif"> ; г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60851/problem_60851_img_5.gif"> ; д)  cos 10° ; е)  tg 10° ; ж)  sin 1° ; з)  log_₂3 .

Докажите, что среди чисел  [2^<i>k</i><img width="25" eight="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60850/problem_60850_img_2.gif">]  (<i>k</i> = 0, 1, ...)  бесконечно много составных.

Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60847/problem_60847_img_2.gif">. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру.