Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Цепные дроби» для 11 класса - сложность 2 с решениями

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения  <i>bx</i>² – <i>abx – a</i> = 0,  где <i>a</i> и <i>b</i> – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.

б) Верно ли обратное утверждение?

Докажите, что если  ^<i>P_n</i>/_{<i>Q_n</i>}  (<i>n</i> ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60620/problem_60620_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60620/problem_60620_img_3.gif">   Получите отсюда <i>теорему Валена</i>: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^<i>p</i>/_<i>q</i>, что  |α – ^<i>p</i>/_<i>q</i>| < <sup&g...

Найдите рациональное число, которое отличается от числа

  а)  α = <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60617/problem_60617_img_2.gif">;   б)  α = 2 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60617/problem_60617_img_3.gif">;   в)  α = 3 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60617/problem_60617_img_4.gif">   не более чем на 0,0001.

Из астрономии известно, что год имеет  365,2420... = [365; 4, 7, 1, 3,...]  так называемых "календарных суток". В Юлианском стиле каждый четвёртый год – високосный, то есть состоит из 366 дней. За сколько лет при таком календаре накапливается ошибка в одни сутки? На сколько дней отстает Юлианский календарь за 1000 лет? И вообще, почему он отстает, если юлианский год длиннее астрономического?

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью  α = [<i>a</i>₀; <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i>, ...].  Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60608/problem_60608_img_2.gif">   где <i>Q_k</i> – знаменатели подходящих дробей.

Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление  α = [<i>a</i>₀; <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1, α_<i>n</i>],  где <i>a</i>₀ – целое, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1 – натуральные,  α_<i>n</i> > 1  – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.

Разлагая число ^<i>a</i>/_<i>b</i> в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения  <i>ax – by</i> = 1,  если

  a)  <i>a</i> = 101,  <i>b</i> = 13;   б)  <i>a</i> = 79,  <i>b</i> = 19.

Пусть числа <i>a</i> и <i>b</i> определены равенством  ^<i>a</i>/_<i>b</i> = [<i>a</i>₀; <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>].  Докажите, что уравнение  <i>ax – by</i> = 1  c неизвестными <i>x</i> и <i>y</i> имеет решением одну из пар  (<i>Q</i>_<i>n</i>–1, <i>P</i>_<i>n</i>–1)  или  (– <i>Q</i>_<i>n</i>–1, – <i>P</i>_<i>n</i>–1),  где  <sup&...

Работу алгоритма Евклида (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160488">160488</a>) можно представить следующим образом. В прямоугольник размерами  <i>m</i>₀×<i>m</i>₁  (<i>m</i>₁ ≤ <i>m</i>₀)  укладываем <i>a</i>₀ квадратов размера   <i>m</i>₁×<i>m</i>₁,  в оставшийся прямоугольник размерами  <i>m</i>₁×<i>m</i>₂  (<i>m</i>₂ ≤ <i>m</i>₁)  укладываем <i>a</i><sub>1...

Как связано разложение рационального числа в цепную дробь с алгоритмом Евклида?

Пусть   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60596/problem_60596_img_2.gif">   Чему равны <i>P_n</i> и <i>Q_n</i>?