Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Комбинаторика» - сложность 1 с решениями
<b><em>Слоны, носороги, жирафы.</em></b>Во всех зоопарках, где есть слоны и носороги, нет жирафов. Во всех зоопарках, где есть носороги и нет жирафов, есть слоны. Наконец, во всех зоопарках, где есть слоны и жирафы, есть и носороги. Может ли быть такой зоопарк, в котором есть слоны, но нет ни жирафов, ни носорогов?
Имеется три ящика, в каждом из которых лежат шары с номерами от 0 до 9. Из каждого ящика вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что а) вынуты три единицы; б) вынуты три равных числа?
В ящике имеется 10 белых и 15 чёрных шаров. Из ящика вынимаются четыре шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белыми?
Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались?
Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если:
а) никакая цифра не повторяется более одного раза;
б) повторения цифр допустимы;
в) числа должны быть нечётными и повторений цифр быть не должно?
Сколькими способами, двигаясь по следующей таблице от буквы к букве, <div align="CENTER"> <table cellpadding="3"> <tr><td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER">к</td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> </tr> <tr&g...
Почему равенства 11² = 121 и 11³ = 1331 похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 11<sup>4</sup>?
Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?
<i>Анаграммой</i> называется произвольное слово, полученное из данного слова перестановкой букв. Сколько анаграмм можно составить из слов:
а) "точка"; б) "прямая"; в) "перешеек"; г) "биссектриса"; д) "абракадабра"; е) "комбинаторика"?
Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) <i>k</i>-угольник (<i>k</i> > 3)?
У Нины 7 разных шоколадных конфет, у Коли 9 разных карамелек. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом пятью конфетами?
На плоскости дано <i>n</i> прямых общего положения. Чему равно число образованных ими треугольников?
На плоскости дано <i>n</i> точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?
Из класса, в котором учатся 28 человек, назначаются на дежурcтво в столовую 4 человека. а) Сколькими способами это можно сделать? б) Сколько существует способов набрать команду дежурных, в которую попадёт ученик этого класса Коля Васин?
Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?
Сколько существует различных пятицветных флагов с пятью вертикальными полосами одинаковой ширины, если можно использовать материю одиннадцати цветов? (Флаг здесь считается просто полотнищем, не прикреплённым ни к древку, ни к чему другому.)
а) Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь в столовую?
б) Как изменится это число, если Петю Иванова и Колю Васина нельзя ставить друг за другом?
Сколько существует ожерелий, составленных из 17 различных бусинок?
Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?
Количество перестановок множества из <i>n</i> элементов обозначается <i>P<sub>n</sub></i>. Докажите равенство <i>P<sub>n</sub> = n</i>!.
В пассажирском поезде 17 вагонов.
Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?
Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них — мужчины. Докажите, что какие-то двое из мужчин сидят друг напротив друга.
В мешке 70 шаров, отличающихся только цветом: 20 красных, 20 синих, 20 жёлтых, остальные – чёрные и белые.
Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее 10 шаров одного цвета?
Докажите, что среди москвичей есть два человека с равным числом волос, если известно, что у любого человека на голове менее одного миллиона волос.
Назовём натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечётные цифры.
Сколько существует четырёхзначных "симпатичных" чисел?