Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» для 7-9 класса - сложность 2 с решениями

Обозначим через <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на не более чем <i>k</i> слагаемых, каждое из которых не превосходит <i>l</i>.

Докажите равенства:

  а)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k,l</i>–1}(<i>n</i>) = <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n – l</i>);

  б)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n</i>) = <i>P</i><sub><i>k,l</i>–1</sub&...

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + <i>y</i>² + <i>y</i>³ +...+ <i>y</i>ⁿ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Каков знак<i>n</i>-го члена в разложении произведения<div align="CENTER"> (1 - <i>a</i>)(1 - <i>b</i>)(1 - <i>c</i>)(1 - <i>d</i> )...= 1 - <i>a</i> - <i>b</i> + <i>ab</i> - <i>c</i> + <i>ac</i> + <i>bc</i> - <i>abc</i> - <i>d</i> +... </div>(<i>n</i>= 0, 1, 2,...)?

Определите коэффициент<i>a</i>_nв разложении<div align="CENTER"> (1 + <i>qx</i>)(1 + <i>qx</i>²)(1 + <i>qx</i>⁴)(1 + <i>qx</i>⁸)(1 + <i>qx</i>¹⁶)...= <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x</i>³ +... </div>

Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства:   а)  <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...;   б)  <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1(1 – <i>x</i>⁵)^–1...;   в)  <i>d</i>(<i>n</i>)...

Докажите, что каждое натуральное число <i>n</i> может быть  2^<i>n</i>–1 – 1  различными способами представлено в виде суммы <i>меньших</i> натуральных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.

Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:

<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ...  =  (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x^k</i> + <i>x</i>^2<i>k</i> + ...)...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>²)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1... </div> (По определению сч...

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61497/problem_61497_img_3.gif">

Докажите тождество:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">(1 + <i>x</i> + <i>x</i>² +...+ <i>x</i>⁹)(1 + <i>x</i>¹⁰ + <i>x</i>²⁰ +...+ <i>x</i>⁹⁰)×</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">×(1 + <i>x</i>¹⁰⁰ + <i>x</i>²⁰⁰ +...+ <i>x</i>⁹⁰⁰)...= $\displaystyle {\dfrac{1}{1-x}}$.</td> </tr> </table> </div>

Вычислите производящие функции следующих последовательностей: <table> <tr><td align="LEFT">а) <i>a</i>_n = <i>n</i>;    б) <i>a</i>_n = <i>n</i>²;    в) <i>a</i>_n = <i>C</i>_mⁿ.</td> </tr> </table>

Вычислите: а) (1 +<i>x</i>)^-1;     б) (1 -<i>x</i>)^-1;    в) (1 -<i>x</i>)^-2.

<b>Обращение степенного ряда.</b>Докажите, что если<i>a</i>₀$\ne$0, то для ряда<i>F</i>(<i>x</i>) существует ряд<i>F</i>^-1(<i>x</i>) =<i>b</i>₀+<i>b</i>₁<i>x</i>+...+<i>b</i>_n<i>x</i>ⁿ+... такой, что<i>F</i>(<i>x</i>)<i>F</i>^-1(<i>x</i>) = 1.

Найдите произведения следующих формальных степенных рядов: <table> <tr><td align="LEFT">а) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)(1 - <i>x</i> + <i>x</i>² - <i>x</i>³ +...);</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)²;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$1 + <i>x</i> + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ ${\dfrac{x^...

Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.3</a>) последовательности (<a href="https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=">11.2</a>) имеет комплексные корни<i>x</i>_{1, 2}=<i>a</i>±<i>ib</i>=<i>re</i>^{±i$\scriptstyle \varphi$}. Докажите, что для некоторой пары чисел<i>c</i>₁,<i>c</i>₂будет выполняться равенство<div align="CENTER"> <i>a</i>_n = <i>r</i>ⁿ(<i>c</i>₁cos <i>n</i>$\displaystyle \var...

Докажите, что для любого числа<i>p</i>> 2 найдется такое число$\beta$, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{},$ = $\displaystyle \beta^{2^n}{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$. </div>

Лягушка прыгает по вершинам треугольника <i>ABC</i>, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.

Сколькими способами она может попасть из <i>A</i> в <i>A</i> за <i>n</i> прыжков?

Докажите, что произвольная последовательность<i>Q</i>_n, заданная условиями<div align="CENTER"> <i>Q</i>₀ = $\displaystyle \alpha$,    <i>Q</i>₁ = $\displaystyle \beta$,    <i>Q</i>_{n + 2} = <i>Q</i>_{n + 1} + <i>Q</i>_n    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0), </div>может быть выражена через числа Фибоначчи<i>F</i>_nи числа Люка<i>L</i>_n(определение чисел Люка смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>).

Докажите, что уравнение   (<i>x + y</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ + (<i>z + t</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ = 2 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">   не имеет решений в рациональных числах.

Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i>_n} имеет корень<i>x</i>₀кратности 2. Докажите, что при фиксированных<i>a</i>₀,<i>a</i>₁существует ровно одна пара чисел<i>c</i>₁,<i>c</i>₂такая, что<div align="CENTER"> <i>a</i>_n = (<i>c</i>₁ + <i>c</i>₂<i>n</i>)<i>x</i>₀ⁿ        (<i>n</i> = 0, 1,...

Пусть характеристическое уравнение (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i>_n} имеет два различных корня<i>x</i>₁и<i>x</i>₂. Докажите, что при фиксированных<i>a</i>₀,<i>a</i>₁существует ровно одна пара чисел<i>c</i>₁,<i>c</i>₂такая, что<div align="CENTER"> <i>a</i>_n = <i>c</i>₁<i>x</i>₁ⁿ + <i>c</i>₂<i>x&lt...

Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — гармоническая функция (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>). Докажите, что функции$\Delta_{x}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>+ 1,<i>y</i>) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и$\Delta_{y}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+ 1) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) также будут гармоническими.

Для многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ – <i>x</i>  найдите Δ²<i>f</i>(<i>x</i>).

Объясните, не применяя соображения делимости, почему  <i>f</i>(<i>x</i>) делится на 6 при всех целых <i>x</i>.

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>2ⁿ. (Вспомните как вычисляют$\int$<i>xe</i>^x d<i>x</i>.)

Найдите представление для$\Delta$(<i>a</i>_n^.<i>b</i>_n) через$\Delta$<i>a</i>_nи$\Delta$<i>b</i>_n. Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

Докажите следующие свойства оператора взятия конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования: а) $\Delta$${\dfrac{1}{b_n}}$= -${\dfrac{\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$;        б) $\Delta$$\left(\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right.$${\dfrac{a_n}{b_n}}$$\left.\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right)$=${\dfrac{b_n\Delta a_n-a_n\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$.