Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 7-8 класса

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6? б) Найдите все несравнимые пары наборов для  <i>s</i> = 7. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">здесь</a>.

Нарисуйте все лестницы из четырёх кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой  (4, 0, 0, 0)  и заканчивая самой пологой  (1, 1, 1, 1).

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61420/problem_61420_img_2.gif">   тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида <div align="CENTER">(<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1,  <i>j</i> + 1, <i>i</i>),     (<i>k,  j, i</i>)   ↔   (<i>k</i> – 1, <i>j, i</i> + 1),     (<i>k, j, i</i>)   ↔ (<i>k,  j</i> – 1, <i>i</i> + 1). </div>(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">зд...

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если

а)  <i>s</i> = 4;   б)  <i>s</i> = 5;   в)  <i>s</i> = 6;   г)  <i>s</i> = 7.

Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Докажите, что если  <i>x + y + z</i> = 6,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ 12.

<b>Спортпрогноз.</b>Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами<i>A</i>и<i>B</i>, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами<i>k</i>_A⁽¹⁾,<i>k</i>_B⁽¹⁾,<i>k</i>_A⁽²⁾,<i>k</i>_B⁽²⁾. Например, если игрок сделал ставку<i>N</i>в первой конторе на команду<i>A</i>, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму<i>k</i>_A^{(1) .}<i>N</i&gt...

Предположим, что имеется набор функций  <i>f</i>₁(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>), определённых на отрезке  [<i>a, b</i>].  Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>

Докажите, что уравнение   ^<i>x</i>/_<i>y</i> + ^<i>y</i>/_<i>z</i> + ^<i>z</i>/_<i>x</i> = 1   неразрешимо в натуральных числах.

Докажите неравенства:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61387/problem_61387_img_2.gif">

Значения переменных считаются положительными.

Докажите <i>неравенство Чебышёва</i>   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61386/problem_61386_img_2.gif">   при условии, что   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>   и

<i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>.

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   3(<i>a</i>₁<i>b</i>₁+<i>a</i>₂<i>b</i>₂+<i>a</i>₃<i>b</i>₃) ≥ (<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+<i>a</i>₃)(<i>b</i>₁+<i>b</i>₂+<i>b</i>₃)  при  <i>a</i>₁≥<i>a</i>₂≥<i>a</i>₃, <i>b</i>₁≥<i>b</i>₂≥...

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (1 +^<i>x</i>/_<i>y</i>)(1 +^<i>y</i>/_<i>z</i>)(1 +^<i>z</i>/_<i>x</i>) ≥ 8.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61379/problem_61379_img_2.gif">

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>ab</i>(<i>a + b</i>) + <i>ac</i>(<i>a + c</i>) + <i>bc</i>(<i>b + c</i>).

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>a</i>²(1 + <i>b</i>⁴) + <i>b</i>²(1 + <i>a</i>⁴) ≤ (1 + <i>a</i>⁴)(1 + <i>b</i>⁴).

Докажите неравенство  (<img width="26" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61372/problem_61372_img_2.gif"> + <img width="26" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61372/problem_61372_img_3.gif">)⁸ ≥ 64<i>xy</i>(<i>x + y</i>)²   (<i>x, y</i> ≥ 0).

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>² + 1 ≥ 2<i>x</i>(<i>xy</i>² – <i>x + z</i> + 1).

Докажите неравенство   (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²)  при  <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].

Докажите неравенство  (<i>a</i> + 1)(<i>b</i> + 1)(<i>a</i> + <i>c</i>)(<i>b</i> + <i>c</i>) ≥ 16<i>abc</i>  для положительных значений переменных.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>a</i>²<i>c</i>² ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите неравенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61366/problem_61366_img_2.gif">  при  |<i>x|, |y</i>| < 1.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (<i>ab + bc + ac</i>)² ≥ 3<i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).