Олимпиадные задачи по теме «Интеграл» - сложность 2-4 с решениями

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы  <i>y</i> = – 2<i>x</i>²  и  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.

Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> так, что отрезки <i>AM</i>, <i>BK</i> и <i>CP</i> пересекаются в одной точке и   <img src="/storage/problem-media/108604/problem_108604_img_2.gif">   Докажите, что <i>P</i>, <i>M</i> и <i>K</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Разрезать отрезок  [–1, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы интегралы от любой  а) линейной функции;  б) квадратного трёхчлена по белым и чёрным отрезкам были равны.

Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) , dx.$$

Функция<i>y</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что<i>f</i> (0) = <i>f</i> (1) = 0 и что |<i>f''</i>(<i>x</i>)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции<i>f</i>для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

<b>Преобразование Абеля.</b>Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>f</i> (<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) = <i>f</i> (<i>n</i>)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>g</i>(<i>x</i>) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$<i>f</i> (<i>x</i>)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$<i>g</i>(<i>z</i>)...

Вычислите$\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx$.