Ответ:наибольшее значение равно${\frac{1}{8}}$, оно принимается функциейg(х) =${\frac{1}{2}}$х(1 - х) в точке х =${\frac{1}{2}}$.

Действительно, предположим, что нашлась такая функцияf, чтоf(0) =f(1) = 0, |f''(x)| ≤ 1 для всех х$\in$[0, 1] и в некоторой точкеa$\in$(0, 1) f(а) >${\frac{1}{8}}$. Положимh(х) = f (х) − ${\frac{f(a)}{g(a)}}$ · g(х). Так какg''(х) = − 1,f(а) >${\frac{1}{8}}$≥g(a) > 0, тоh(0) =h(1) = 0,h''(х) =f''(x) +${\frac{f(a)}{g(a)}}$> 0. Кроме того,h(a) = 0. Из условияh''(х) > 0 следует, чтоh'(х) монотонно возрастает. Значит, на одном из отрезков [0;а] или [а;1] она не меняет знака. Но тогда либоh(0) = −$\int\limits_{0}^{a}$h'(х)dх ≠ 0, либоh (1) = $\int\limits_{a}^{1}$h'(х)dх ≠ 0, что приводит оба раза к противоречию. (Решение из книги [Гальперин, Толпыго]).

Ответ задачи отсутствует