Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 9-10 класса - сложность 1 с решениями

Доказать, что     <img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_2.gif"> <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_3.gif"></div>

Сколькими способами можно разложить девять орехов по трём карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.

Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Сколько существует таких пар целых чисел <i>x, y</i>, заключённых между 1 и 1000, что  <i>x</i>² + <i>y</i>²  делится на 7.

Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?

Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65346/problem_65346_img_2.png"></div>

В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров по крайней мере один министр – жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если

а)  <i>s</i> = 4;   б)  <i>s</i> = 5;   в)  <i>s</i> = 6;   г)  <i>s</i> = 7.

Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Имеются четыре гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если

  а) гири можно класть только на одну чашку весов;

  б) гири можно класть на обе чашки весов?

Сколько различных делителей имеют числа    а)  2·3·5·7·11;    б)  2²·3³·5⁵·7⁷·11¹¹ ?

В ящике имеется 10 белых и 15 чёрных шаров. Из ящика вынимаются четыре шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белыми?

Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались?

Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если:

  а) никакая цифра не повторяется более одного раза;

  б) повторения цифр допустимы;

  в) числа должны быть нечётными и повторений цифр быть не должно?

Сколькими способами, двигаясь по следующей таблице от буквы к букве, <div align="CENTER"> <table cellpadding="3"> <tr><td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER">к</td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> </tr> <tr&g...

Почему равенства  11² = 121  и  11³ = 1331  похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 11⁴?

Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?

<i>Анаграммой</i> называется произвольное слово, полученное из данного слова перестановкой букв. Сколько анаграмм можно составить из слов:

а) "точка";   б) "прямая";   в) "перешеек";   г) "биссектриса";   д) "абракадабра";   е) "комбинаторика"?

Сколько диагоналей имеет выпуклый:

а) 10-угольник;   б) <i>k</i>-угольник  (<i>k</i> > 3)?

На плоскости дано <i>n</i> прямых общего положения. Чему равно число образованных ими треугольников?

Из класса, в котором учатся 28 человек, назначаются на дежурcтво в столовую 4 человека.   а) Сколькими способами это можно сделать?   б) Сколько существует способов набрать команду дежурных, в которую попадёт ученик этого класса Коля Васин?

Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?

Сколько существует различных пятицветных флагов с пятью вертикальными полосами одинаковой ширины, если можно использовать материю одиннадцати цветов? (Флаг здесь считается просто полотнищем, не прикреплённым ни к древку, ни к чему другому.)