Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?

В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож <i>N</i>-го разряда <i>N</i> суток дежурит, потом <i>N</i> суток спит, снова <i>N</i> суток дежурит, <i>N</i> – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)

На собрание пришло <i>n</i> человек  (<i>n</i> > 1).  Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.

  а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.

  б) Покажите, что <i>n</i> может быть больше 4.

Даны положительные числа <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите неравенство  (<i>b</i> – <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>b</i> + <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>c</i> – <i>b</i>)²⁰¹¹ ≥ (<i>b</i>²⁰¹¹ – <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>b</i>²⁰¹¹ + <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>c</i>²⁰¹¹ – <i>b</i>²⁰¹¹).

2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по  <i>x</i>₁, ..., <i>x</i>₂₀₁₁  кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по  <i>y</i>₁, ..., <i>y</i>₂₀₁₁  кг цемента соответственно, причём

<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + ... + <i>x</i>₂₀₁₁ = <i>y</i>₁ + <i>y<...

В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечётное число главных дорог.

В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше 10 платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать 10 компаниям так, чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.

На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека <i>объявляются</i> друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

В некой стране 100 городов (города считайте точками на плоскости). В справочнике для каждой пары городов имеется запись, каково расстояние между ними (всего 4950 записей).   а) Одна запись стёрлась. Всегда ли можно однозначно восстановить её по остальным?   б) Пусть стёрлись <i>k</i> записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком наибольшем <i>k</i> всегда можно однозначно восстановить стёршиеся записи?

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру <i>А</i> передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.

<img align="right" src="/storage/problem-media/115364/problem_115364_img_2.gif"> Назовём лестницей высоты <i>n</i> фигуру, состоящую из всех клеток квадрата <i>n</i>×<i>n</i>, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты <i>n</i> на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

Докажите, что при любых натуральных  0 <<i>k</i><<i>m < n</i>  числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif">  не взаимно просты.

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?

Клетчатая прямоугольная сетка <i>m</i>×<i>n</i> связана из верёвочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную верёвочку. Если не останется ни одного замкнутого верёвочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

Дано 101-элементное подмножество <i>A</i> множества  <i>S</i> = {1, 2, ..., 1000000}.

Докажите, что для некоторых  <i>t</i>₁, ..., <i>t</i>₁₀₀  из <i>S</i> множества   <i>A_j</i> = {<i>x + t_j</i> | <i>x</i> ∈ <i>A;  j</i> = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

Каких точных квадратов, не превосходящих 10²⁰, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)

Множество клеток на клетчатой плоскости назовем <i>ладейно связным</i>, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.

Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.

Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Каждый квадрат (кроме крайних) соединён с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба 3×3×3?

<i>N</i>³ единичных кубиков просверлены по диагонали и плотно нанизаны на нить, после чего нить связана в кольцо (то есть вершина первого кубика соединена с вершиной последнего). При каких <i>N</i> такое ожерелье из кубиков можно упаковать в кубическую коробку с ребром длины <i>N</i>?

Докажите неравенство   sin^<i>n</i>2<i>x</i> + (sin<i>ⁿx</i> – cos<i>ⁿx</i>)² ≤ 1.

В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.

В правильном (6<i>n</i>+1)-угольнике <i>K</i> вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.

Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.