Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 1-9 класса - сложность 4 с решениями

Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади<i> S </i>отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через<i> S' </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/110176/problem_110176_img_2.gif"><</i>3.

Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма

  а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;

  б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна  2 arctg ⁴/₃;  а среди треугольников с тупым углом, меньшим  2 arctg ⁴/₃,  имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.

<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73564/problem_73564_img_2.gif"><i>n</i>одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?Как изменится ответ, если радиус этой монеты в <nobr><i>k</i> раз</nobr> больше радиуса каждой из монет цепочки?

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 6  правильный (<i>n</i>–1)-угольник нельзя так вписать в правильный <i>n</i>-угольник, чтобы на всех сторонах <i>n</i>-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (<i>n</i>–1)-угольника.

Пусть $\alpha$=$\pi$/7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$=${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$+${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$.