Олимпиадные задачи по теме «Теория чисел. Делимость» для 10 класса - сложность 1 с решениями

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.

<i>Примечание</i>: простых чисел бесконечно много.

<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство:  <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.

Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.

Найти все целые решения уравнения  <i>y</i>^<i>k</i> = <i>x</i>² + <i>x</i>  (<i>k</i> – натуральное число, большее 1).

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Решите уравнение:  <i>x</i>(<i>x</i> + 1) = 2014·2015.

Докажите, что уравнение   ^<i>x</i>/_<i>y</i> + ^<i>y</i>/_<i>z</i> + ^<i>z</i>/_<i>x</i> = 1   неразрешимо в натуральных числах.

Докажите, что два класса <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i></span> совпадают тогда и только тогда, когда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).

Докажите, что класс <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> состоит из всех чисел вида  <i>mt + a</i>,  где <i>t</i> – произвольное целое число.

Докажите, что если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и   <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>),  то

  а)  <i>a + c ≡ b + d</i> (mod <i>m</i>);   б)  <i>ac ≡ bd</i> (mod <i>m</i>).

Что означают записи:   а) <i>a ≡ b</i> (mod 0);   б)  <i>a ≡ b</i> (mod 1)?

Докажите, что  (<i>bc, ac, ab</i>)  делится на  (<i>a, b, c</i>)².

Докажите, что для всех натуральных <i>n</i> число, записываемое 3^<i>n</i> единицами, делится на 3^<i>n</i>.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  6^2<i>n</i>+1 + 1  делится на 7.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  2^5<i>n</i>+3 + 5^<i>n</i>·3^<i>n</i>+2  делится на 17.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  10^<i>n</i> + 18<i>n</i> – 1  делится на 27.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>! <i>y</i>! = <i>z</i>!  имеет бесконечно много решений в натуральных числах, больших 1.