Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Известно, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются друг друга. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
Во вписанном четырёхугольнике <i>ABCD</i> длины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна ½ <i>AC</i>² sin∠<i>A</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>AM</i>.
Может ли радиус вписанной окружности треугольника <i>ABM</i> быть ровно в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника <i>ACM</i>?
Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.
Докажите, что произведение 99 дробей <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98085/problem_98085_img_2.gif"> где <i>k</i> = 2, 3, ..., 100, больше ⅔.
В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.
Имеется <i>n</i> целых чисел (<i>n</i> > 1). Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное <i>n</i>.
Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на <i>n</i>.
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> найдётся ненулевой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2<sup><i>n</i></sup>, который делится на
(<i>x</i> – 1)<sup><i>n</i></sup>.
Найти шесть различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих двух чисел.
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?