Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2 с решениями
Дан четырёхугольник <i>ABCD. A', B', C'</i> и <i>D'</i> – середины сторон <i>BC, CD, DA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что <i>AA' = CC'</i> и <i>BB'</i> = <i>DD'</i>.
Bерно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что <i>S<sub>KMC</sub> + S<sub>KAC</sub> = S<sub>ABC</sub></i>.
Докажите, что все такие прямые <i>MK</i> проходят через одну точку.
Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD = a</i> и <i>BC = b</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно, причём отрезок <i>MN</i> параллелен основаниям трапеции. Диагональ <i>AC</i> пересекает этот отрезок в точке <i>O</i>. Найдите <i>MN</i>, если известно, что площади треугольников <i>AMO</i> и <i>CNO</i> равны.
На клетчатой бумаге нарисовали треугольник, один из углов которого равен $45^{\circ}$ (см.рис.). Найдите значения остальных углов. <img src="/storage/problem-media/66797/problem_66797_img_2.png">
Окружность с центром <i>O</i> проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках <i>M</i> и <i>K</i>.
Докажите, что расстояние от точки <i>O</i> до прямой <i>MK</i> равно половине гипотенузы.
Точки <i>Е</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>АВСD</i>. Докажите, что отрезок <i>EF</i> делит диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> в одном и том же отношении.
В выпуклом четырехугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Е</i> — середина <i>CD</i>, <i>F</i> — середина <i>АD</i>, <i>K</i> — точка пересечения <i>АС</i> и <i>ВЕ</i>. Докажите, что площадь треугольника <i>BKF</i> в два раза меньше площади треугольника <i>АВС</i>.