Олимпиадные задачи по математике для 7-9 класса - сложность 4 с решениями
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub>, равный треугольнику <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и такой, что прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub> и <i>CC</i><sub>2</sub> будут параллельны?
В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов (<i>x</i> > 4). Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?
Окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Через точку <i>A</i> окружности <i>S</i><sub>1</sub> проведены прямые <i>AM</i> и <i>AN</i>, пересекающие окружность <i>S</i><sub>2</sub> в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а через точку <i>D</i> окружности <i>S</i><sub>2</sub> – прямые <i>DM</i> и <i>DN</i>, пересекающие <i>S</i><sub>1</sub> в точках <i>E</i> и <i>F</i>, причём точки <i>A, E, F</i> лежат по одну сторону от прямой <i>MN</i>,...
Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.
Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m<sub>a</sub> </i>,<i> m<sub>b</sub> </i>и<i> m<sub>c</sub> </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>
<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.
</i></center>
В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются <i>непохожими</i>, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
б) А может ли быть ровно 50?