Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2 с решениями
Натуральные числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, где <i>c</i> ≥ 2, таковы, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>c</i></sub>. Докажите, что хотя бы одно из чисел <i>a + c, b + c</i> – составное.
Для вещественных <i>x > y</i> > 0 и натуральных <i>n > k</i> докажите неравенство (<i>x<sup>k</sup> – y<sup>k</sup></i>)<sup><i>n</i></sup> < (<i>x<sup>n</sup> – y<sup>n</sup></i>)<sup><i>k</i></sup>.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
Рассматриваются 2000 чисел: 11, 101, 1001, ... . Докажите, что среди этих чисел не менее 99% составных.
Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.
<i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство <img align="middle" src="/storage/problem-media/105065/problem_105065_img_2.gif">
Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно <i>a + b + c + d</i>.
Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
Докажите, что существует бесконечно много нечётных <i>n</i>, для которых число 2<i><sup>n</sup> + n</i> – составное.
Назовём натуральное число <i>почти квадратом</i>, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел.
Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.
Целые числа <i>a, x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>13</sub> таковы, что <i>a</i> = (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)(1 + <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 + <i>x</i><sub>13</sub>) = (1 – <i>x</i><sub>1</sub>)(1 – <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 – <i>x</i><sub>13</sub>). Докажите, что <i>ax</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>...<i>x</i><sub>13</sub> = 0.
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что для любых ненулевых цифр <i>a</i> и <i>b</i> число <span style="text-decoration: overline;"><i>anb</i></span> делится на <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> ? (Через <span style="text-decoration: overline;"><i>x...y</i></span> обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел <i>x, ..., y</i>.)