Олимпиадные задачи по математике для 9-10 класса
Пусть натуральные числа <i>x, y, p, n</i> и <i>k</i> таковы, что <i> x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = p<sup>k</sup></i>.
Докажите, что если число <i>n</i> (<i>n</i> > 1) нечётно, а число <i>p</i> нечётное простое, то <i>n</i> является степенью числа <i>p</i> (с натуральным показателем).
Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых взаимно простых <i>x</i> и <i>y</i> и натуральном <i>k</i> > 1, выполняется равенство 3<i><sup>n</sup> = x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup></i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AD</i> и <i>CE</i>. Построили квадрат <i>ACPQ</i> и прямоугольники <i>CDMN</i> и <i>AEKL</i>, у которых <i>AL = AB</i> и
<i>CN = CB</i>. Докажите, что площадь квадрата <i>ACPQ</i> равна сумме площадей прямоугольников <i>AEKL</i> и <i>CDMN</i>.
Является ли число 4<sup>9</sup> + 6<sup>10</sup> + 3<sup>20</sup> простым?
По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют <i>n</i> поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции <i>A, B</i> и <i>C</i> (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию <i>A</i> и одновременно Лёша входит на станцию <i>B</i>, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
В одной из школ 20 раз проводился кружок по астрономии. На каждом занятии присутствовало ровно пять школьников, причём никакие два школьника не встречались на кружке более одного раза. Докажите, что всего на кружке побывало не менее 20 школьников.
Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i><sub>1</sub>, то векторы <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_2.gif"> и <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_3.gif"> равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться
а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
б) на одной произвольной прямой.
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i><sub>1</sub>, то <i>AB = BA</i><sub>1</sub>). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.
Ученик не заметил знака умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше.
Найти эти числа.
В каждой вершине куба записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трёх соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После десяти таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы?
Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?