Олимпиадная задача о прыжках четырёх кузнечиков на квадрате — планиметрия и комбинаторика

  1^o. Представим себе, что квадрат, в вершинах которого сидят кузнечики — это квадрат клетчатой бумаги(размер квадрата — 1×1). Заметим, что кузнечики всегда прыгают по вершинам клеток: если на клетчатой бумаге поместить кузнечиков в вершины клеток (эти вершины называются узлами квадратной сетки), то после каждого прыжка каждый кузнечик снова попадет в некоторый узел квадратной сетки (рис.). Дело в том, чтопрыжок эквивалентен центральной симметрии одного кузнечика относительно другого, а квадратная сетка центрально симметрична относительно любого своего узла. 2^o. Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины большего квадрата, тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины меньшего. Но, начиная прыгать из вершин большего квадрата, они всегда будут попадать в узлы сетки, состоящей из больших квадратов. Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона большого квадрата. Противоречие.

Комментарий. Если сначала кузнечики находились в вершинах произвольного параллелограмма, то они всегда будут прыгать по сетке из таких же параллелограммов.

Ответ задачи отсутствует