Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
На координатной плоскости нарисовано <i>n</i> парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более 2(<i>n</i> – 1) углов (то есть точек пересечения пары парабол).
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x</i><sub>2011</sub> кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по <i>y</i><sub>1</sub>, ..., <i>y</i><sub>2011</sub> кг цемента соответственно, причём
<i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + ... + <i>x</i><sub>2011</sub> = <i>y</i><sub>1</sub> + <i>y<...
Расстоянием между числами <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub><i>a</i><sub>4</sub><i>a</i><sub>5</sub></span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>3</sub><i>b</i><sub>4</sub><i>b</i><sub>5</sub></span> назовём максимальное <i>i</i>, для которого <i>a<sub>i</sub></i> ≠ <i>b<sub>i</sub></i>. Все пятизначные числа выписаны друг...
На плоскости дано бесконечное множество точек<i> S </i>, при этом в любом квадрате1×1лежит конечное число точек из множества<i> S </i>. Докажите, что найдутся две разные точки<i> A </i>и<i> B </i>из<i> S </i>такие, что для любой другой точки<i> X </i>из<i> S </i>выполняются неравенства: <center><i>
|XA|,|XB|<img src="/storage/problem-media/110060/problem_110060_img_2.gif"> </i>0<i>,</i>999<i>|AB|. </i></center>
Существуют ли выпуклая<i> n </i>-угольная (<i> n<img src="/storage/problem-media/109911/problem_109911_img_2.gif"> </i>4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла<i> n </i>-угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.
В тетраэдр<i> ABCD </i>, длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
В стране <i>N</i> 1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.
На плоскости нарисовано некоторое семейство<i> S </i>правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства<i> S </i>содержит хотя бы одну из них.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> > 2 число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif"> делится на 8.