Олимпиадная задача по планиметрии: три точки в пересекающихся треугольниках (9–11 класс)

Пусть ABC – один из треугольников семейства S . Его высоту примем за единицу. Так как треугольники из S попарно пересекаются, то они лежат в некоторой полосе ширины 2, параллельной стороне AB . Аналогично, взяв полосы, параллельные BC и CA , рассмотрим их пересечение– это будет шестиугольник H с углами по120^o и расстояниями между противоположными сторонами, равными 2. У такого шестиугольника длины сторон чередуются, обозначим их a и b (см. рис. 1) . Пусть вначале a b , тогда все треугольники из S содержат центр фигуры H (см. рис. 1) .

                      Рис. 1                  Рис. 2                  Рис. 3 Если же a>b , то рассмотрим прямые l_X , l_Y , l_Z , параллельные сторонам шестиугольника и равноудаленные от них. В качестве искомых точек X , Y и Z возьмем середины отрезков, высекаемых сторонами на этих прямых (см. рис. 2) .

Покажем, что любой треугольник T , T S , содержит какую-то точку из множества M={X,Y,Z} .

Заметим, что T пересекает любую из прямых l_X , l_Y и l_Z (см. рис. 2) , так как иначе T лежит в полосе меньшей ширины, чем его высота. Предположим противное: T не содержит точек X , Y или Z , тогда без ограничения общности можно считать, что T пересекает l_X выше и левее X , а l_Y – левее Y (см. рис. 3) . Так как TΔ XYZ , то легко видеть, что правая нижняя вершина T лежит в Δ XYZ , а значит, T не пересекает l_Z – противоречие.

Ответ задачи отсутствует