Олимпиадная задача по стереометрии и планиметрии для 10-11 класса: трёхгранные углы пирамид

Предположим, что ABCD и SA₁A₂.. A_n – такие треугольная и n -угольная пирамиды, что четыре трехгранных угла с вершинами A_i , A_j , A_k , A_l n -угольной пирамиды равны трехгранным углам с вершинами A , B , C и D – треугольной. Тогда сумма всех плоских углов трехгранных углов с вершинами A_i , A_j , A_k , A_l равна4· 180^o=720^o . С другой стороны, по свойству трехгранных углов, A_m-1A_m A_m+1< A_m-1A_m S+ A_m+1A_m S , поэтому A_i-1A_i A_i+1+ A_j-1A_j A_j+1+ A_k-1A_k A_k+1+ A_l-1A_l A_l+1<· 720^o=360^o . Но сумма всех углов многоугольника A₁ A₂.. A_n равна180^o·(n-2), поэтому сумма остальных n-4углов многоугольника (без углов A_i , A_j , A_k , A_l ) больше180^o(n-2)-360^o=180^o(n-4), что невозможно, так как многоугольник – выпуклый.

Не существуют.