Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 3 с решениями
Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, ... так, чтобы при любом натуральном <i>k</i> сумма всех чисел, входящих в подмножество <i>A<sub>k</sub></i>, равнялась <i>k</i> + 2013?
На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.
Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...
Можно ли числа 1, 2, ..., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?
В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4,2<i></i>1998. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?
Найдите все такие простые числа <i>p</i>, что число <i>p</i>² + 11 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).
Найдите все такие простые числа <i>p, q, r</i> и <i>s</i>, что их сумма – простое число. а числа <i>p</i>² + <i>qs</i> и <i>p</i>² + <i>qr</i> – квадраты натуральных чисел. (Числа <i>p, q, r</i> и <i>s</i> предполагаются различными.)
На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)
Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.). <center> <img src="/storage/problem-media/109542/problem_109542_img_2.gif"> </center>На клетке, помеченной звездочкой, стоит<i>кентавр</i>– фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>P</i> так, что ∠<i>ABP</i> = ∠<i>ACP</i>, а ∠<i>CBP</i> = ∠<i>CAP</i>. Докажите, что <i>P</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.
Правильный (2<i>n</i>+1)-угольник разбили диагоналями на 2<i>n</i> – 1 треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.
В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны <i>N</i> было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны <i>N</i>, принявших участие в весеннем туре?
Доска 7×7 либо пустая, либо на ней лежит "по клеткам" невидимый корабль 2×2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
Петя взял 20 последовательных натуральных чисел, записал их друг за другом в некотором порядке и получил число <i>M</i>. Вася взял 21 последовательное натуральное число, записал их друг за другом в некотором порядке и получил число <i>N</i>. Могло ли случиться, что <i>M = N</i>?
Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый бил не более семи из остальных?
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа <i>n, n</i> + 1, ..., <i>n</i> + 8. При каких <i>n</i> он сможет это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65113/problem_65113_img_2.gif"></div>
В четырёхугольнике <i>ABCD </i>сторона <i>AB</i> равна диагонали <i>AC</i> и перпендикулярна стороне <i>AD</i>, а диагональ <i>AC</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>. На стороне <i>AD</i> взята такая точка <i>K</i> , что <i>AC = AK</i>. Биссектриса угла <i>ADC</i> пересекает <i>BK</i> в точке <i>M</i>. Найдите угол <i>ACM</i>.
В ромбе <i>ABCD</i> ∠<i>А</i> = 120°. На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что ∠<i>NAM</i> = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>NAM</i> лежит на диагонали ромба.