Олимпиадные задачи из источника «Всероссийская олимпиада по математике» для 9 класса - сложность 1 с решениями
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполнено неравенство (<i>n</i> – 1)<sup><i>n</i>+1</sup>(<i>n</i> + 1)<sup><i>n</i>–1</sup> < <i>n</i><sup>2<i>n</i></sup>.
Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>). На меньшей дуге <i>AB</i> описанной около него окружности взята точка <i>D</i>. На продолжении отрезка <i>AD</i> за точку <i>D</i> выбрана точка <i>E</i> так, что точки <i>A</i> и <i>E</i> лежат в одной полуплоскости относительно <i>BC</i>. Описанная окружность треугольника <i>BDE</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> параллельны.
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?