Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 3 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> медианы <i>AM_A, BM_B</i> и <i>CM_C</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Построим окружность Ω_<i>A</i>, проходящую через середину отрезка <i>AM</i> и касающуюся отрезка <i>BC</i> в точке <i>MA</i>. Аналогично строятся окружности Ω_<i>B</i> и Ω_<i>C</i>. Докажите, что окружности Ω_<i>A</i>, Ω_<i>B</i> и Ω_<i>C</i> имеют общую точку.

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство   ¹/_<i>a</i>³ + ¹/_<i>b</i>³ + ¹/_<i>c</i>³ + ¹/_<i>d</i>³ ≤ ¹/_{<i>a</i>³<i>b</i>³<i>c</i>³<i>d</i>³}.

В стране есть  <i>n</i> > 1  городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города <i>X</i> подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до <i>n</i>, что на любом авиамаршруте, начинающемся в <i>X</i>, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.

На клетчатый лист бумаги размера 100×100 положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка.

На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?

Дан кубический многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>). Назовём <i>циклом</i> такую тройку различных чисел  (<i>a, b, c</i>),  что  <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>b,  f</i>(<i>b</i>) = <i>c</i>  и  <i>f</i>(<i>c</i>) = <i>a</i>.  Известно, что нашлись восемь циклов  (<i>a_i, b_i, c_i</i>),  <i>i</i> = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  <i>a_i + b_i + c_i</i>  есть хотя бы три различных.

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство   ¹/_<i>a</i>² + ¹/_<i>b</i>² + ¹/_<i>c</i>² + ¹/_<i>d</i>² ≤ ¹/_{<i>a</i>²<i>b</i>²<i>c</i>²<i>d</i>²}.

Окружность ω вписана в треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB < AC</i>.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Точка <i>X</i> выбирается на отрезке <i>A'A</i> так, что отрезок <i>A'X</i> не пересекает ω. Касательные, проведённые из <i>X</i> к ω, пересекают отрезок <i>BC</i> в точках <i>Y</i> и <i>Z</i>. Докажите, что сумма  <i>XY + XZ</i>  не зависит от выбора точки <i>X</i>.

Квадрат разбит на  <i>n</i>² ≥ 4  прямоугольников  2(<i>n</i> – 1)  прямыми, из которых  <i>n</i> – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  <i>n</i> – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2<i>n</i> прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида <b>Т</b> – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

Саша выбрал натуральное число  <i>N</i> > 1  и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители:  <i>d</i>₁ < ... < <i>d_s</i>  (так что  <i>d</i>₁ = 1  и

<i>d_s</i> = <i>N</i>).  Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных  <i>s</i> – 1  чисел оказалась равной

<i>N</i> – 2.  Какие значения могло принимать <i>N</i>?