Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 7-8 класса - сложность 2-4 с решениями
Какое из чисел больше: (100!)! или 99!<sup>100!</sup>·100!<sup>99!</sup>?
Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Оказалось, что точки <i>B</i>, <i>D</i>, а также середины <i>M</i> и <i>N</i> отрезков <i>AC</i> и <i>KC</i> лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол <i>ADC</i>?
Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, кратное 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?
Число <i>x</i> таково, что среди четырёх чисел <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64622/problem_64622_img_2.gif"> ровно одно не является целым.
Найдите все такие <i>x</i>.
Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает <i>k</i> клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером <i>a</i>, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем <i>a</i>; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем <i>a</i>. При каком наименьшем <i>k</i> независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?
Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и <i>N</i>, где <i>N</i> > 5. Какое наименьшее значение может иметь число <i>N</i>?
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов <i>DAC, DBC, ACB</i> и <i>ADB</i> образовали ромб, то <i>AB = CD</i>.
Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?