Олимпиадные задачи из источника «11 Класс» для 9 класса

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом <i>k</i>  (1 ≤ <i>k</i> ≤ 25)  в любых <i>k</i> коробках лежат шарики ровно  <i>k</i> + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Для положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111769/problem_111769_img_2.gif">

На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие целые <i>a, b, c</i>, что их сумма равна нулю, а число  <i>aⁿ + bⁿ + cⁿ</i>  – простое?

На столе лежат купюры достоинством 1, 2,<i> .. </i>,2<i>n </i>тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?

В треугольнике<i> ABC </i>на стороне<i> BC </i>выбрана точка<i> M </i>так, что точка пересечения медиан треугольника<i> ABM </i>лежит на описанной окружности треугольника<i> ACM </i>, а точка пересечения медиан треугольника<i> ACM </i>лежит на описанной окружности треугольника<i> ABM </i>. Докажите, что медианы треугольников<i> ABM </i>и<i> ACM </i>из вершины<i> M </i>равны.