Олимпиадные задачи из источника «2005-2006» для 7 класса

При изготовлении партии из  <i>N</i> ≥ 5  монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

Медиану <i>AA</i>₀ треугольника <i>ABC</i> отложили от точки <i>A</i>₀ перпендикулярно стороне <i>BC</i> во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через <i>A</i>₁. Аналогично строятся точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Найдите углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, если углы треугольника <i>ABC</i> равны 30°, 30° и 120°.

В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?

На доске записано произведение <i>a</i>₁<i>a</i>₂... <i>a</i>₁₀₀, где <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₀ могло быть?

Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)

Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число <i>N</i>, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из <i>N</i> вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.

Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.