Олимпиадные задачи из источника «2004-2005» - сложность 2 с решениями

Известно, что сумма цифр натурального числа <i>N</i> равна 100, а сумма цифр числа 5<i>N</i> равна 50. Докажите, что <i>N</i> чётно.

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д. (<i>k</i>-й сдвиг происходит на2<i>^k-</i>1 клеток). Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

В 12 часов дня "Запорожец" и "Москвич" находились на расстоянии 90 км и начали двигаться навстречу друг другу с постоянной скоростью. Через два часа они снова оказались на расстоянии 90 км. Незнайка утверждает, что "Запорожец" до встречи с "Москвичом" и "Москвич" после встречи с "Запорожцем" проехали в сумме 60 км. Докажите, что он неправ.

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.

Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.

Найдите все пары чисел<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_2.gif"> </i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_3.gif"></i>), удовлетворяющие равенству<i> sin x+ sin y= sin</i>(<i>xy</i>).

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>A</i> и <i>C</i> равны. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает прямую <i>AD</i> в точке <i>P</i>. Перпендикуляр к <i>BP</i>, проходящий через точку <i>A</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>PQ</i> и <i>CD</i> параллельны.