Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">
Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из <i>N</i> авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт <i>N</i> – 1 рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно долететь до любого другого.
Для некоторых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> выполняется неравенство <i>x</i>² + <i>y</i>³ ≥ <i>x</i>³ + <i>y</i><sup>4</sup>. Докажите, что <i>x</i>³ + <i>y</i>³ ≤ 2.
Сумма цифр в десятичной записи натурального числа<i> n </i>равна 100, а сумма цифр числа44<i>n </i>равна 800. Чему равна сумма цифр числа3<i>n </i>?
Найдите все бесконечные ограниченные последовательности натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., для всех членов которых, начиная с третьего, выполнено <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109692/problem_109692_img_2.gif"></div>
На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью. Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает. Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл.
Через вершину <i>A</i> тетраэдра <i>ABCD </i> проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней <i>ABC, ACD</i> и <i>ABD</i> образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда <i>AB·CD = AC·BD = AD·BC</i>.
Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.
Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?
Окружность <i>S</i><sub>1</sub>, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub>, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>E</i> и окружность <i>S</i><sub>1</sub> вторично в точке <i>F</i>. Оказалось, что точки <i>A, E, D, C</i> лежат на окружности <i>S</i><sub>3</sub> с центром <i>O</i>. Докажите, что угол <i>BFO</i> – прямой.