Олимпиадная задача по теории чисел: 19 разных чисел с равной суммой цифр

  Предположим, что такие 19 чисел существуют и сумма цифр каждого из чисел равна  S = 9k + r,  r ∈ {0, 1, ..., 8}.  Тогда все эти числа имеют остаток r при делении на 9, и  19r = 18r + r = 1999 ≡ 1 (mod 9),  откуда  r = 1.

  Пусть  k = 0,  то есть  S = 1.  Пять наименьших натуральных чисел с суммой цифр 1 – это 1, 10, 100, 1000 и 10000. Но даже их сумма больше 1999.

  Пусть  k = 1,  тто есть  S = 10.  19 наименьших натуральных чисел чисел с суммой цифр 10 – это 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, 145, 154, 163, 172, 181, 190. Их сумма равна  1990 < 1999.  Следующее натуральное число с суммой цифр 10 – это 208, что по крайней мере на 18 больше любого из первых 19 чисел, и значит, сумма будет не менее  1990 + 18 = 2008 > 1999.

  Пусть  k ≥ 2,  то есть  S ≥ 19.  Но наименьшее число с суммой цифр не меньше 19 есть 199, а сумма любых 19 таких чисел будет заведомо больше 1999.

Не существует.