Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 класса: центр окружности и угол BFO
Задача
Окружность S1, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S2, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S1 вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S3 с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.
Решение
Четырёхугольник ABDF вписан в окружность S1, поэтому ∠FDC = ∠BAF = ∠EAF. Аналогично FEA = ∠DCF.
Значит, треугольник AEF подобен треугольнику DCF. Пусть K и L – середины отрезков AE и CD соответственно. Тогда FK и FL – медианы подобных треугольников AEF и DCF, проведённые из вершин соответствующих углов. Значит, ∠AKF = ∠DLF = ∠BLF, ∠BKF = 180° – ∠AKF = 180° – ∠BLF, поэтому точки B, K, L и F лежат на одной окружности S4.
Так как AE и CD – хорды окружности S3, то серединные перпендикуляры к отрезкам AE и CD пересекаются в центре O этой окружности. Значит, точки K и L лежат на окружности с диаметром BO, а так как через точки B, K и L проходит единственная окружность S4, то BO – диаметр окружности S4. Таким образом, точка F лежит на окружности с диаметром BO, поэтому FO ⊥ BO.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь