Олимпиадные задачи из источника «1996-1997» для 10 класса - сложность 4 с решениями

В клетках таблицы 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит <i>S</i>.

Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. (Числа называются соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)

Выпуклый многоугольник<i> M </i>переходит в себя при повороте на угол90<i>^o </i>. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным<i> <img src="/storage/problem-media/109654/problem_109654_img_2.gif"> </i>, один из которых содержит<i> M </i>, а другой содержится в<i> M </i>.

Найдите все такие тройки натуральных чисел <i>m, n</i> и <i>l</i>, что  <i>m + n</i> = (НОД(<i>m, n</i>))²,  <i>m + l</i> = (НОД(<i>m, l</i>))²,  <i>n + l</i> = (НОД(<i>n, l</i>))².

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Квадрат<i> n</i>×<i>n </i>(<i> n<img src="/storage/problem-media/109646/problem_109646_img_2.gif"> </i>3) склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.

В прямоугольную коробку с основанием <i>m</i>×<i>n</i>, где <i>m</i> и <i>n</i> – нечётные числа, уложены домино размера 2×1 так, что остался не покрыт только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, её разрешается сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом открывается новая дырка). Докажите, что с помощью таких передвижений можно перегнать дырку в любой другой угол.

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём <i>отмёченными</i> грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.